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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 42

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

42. A região do Exercício 25.

Passo 1

A região do exercício 25 é:

O intervalo da região será [ 1,2 ] e a função é f x = 4 - x 2 . Sendo assim,

Δ x = 2 - 1 n = 1 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 4 - 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i 2 = 4 - 1 4 1 + i n + 1 + i - 1 n 2

f m i = 4 - 1 4 n + i + n + i - 1 n 2 = 16 n 2 - 2 i + 2 n - 1 2 4 n 2

= 16 n 2 - 4 i 2 + 4 2 n - 1 i + 2 n - 1 2 4 n 2 = - 4 i 2 - 4 2 n - 1 i + 16 n 2 - 2 n - 1 2 4 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n - 4 i 2 - 4 2 n - 1 i + 16 n 2 - 2 n - 1 2 4 n 2 1 n  

lim n → + ∞ ⁡ 1 4 n 3 ∑ i = 1 n - 4 i 2 - 4 2 n - 1 i + 16 n 2 - 2 n - 1 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 1 4 n 3 - 4 ∑ i = 1 n i 2 - 4 2 n - 1 ∑ i = 1 n i + 16 n 2 - 2 n - 1 2 ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 1 4 n 3 - 4 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 - 4 2 n - 1 n ( n + 1 ) 2 + 16 n 2 - 2 n - 1 2 n

A = 1 4 lim n → + ∞ ⁡ - 4 n n 1 + 1 n 2 + 1 n 6 - 4 2 - 1 n n n 1 + 1 n 2 + 16 n 2 n 2 - 2 - 1 n 2 n n

A = 1 4 ⁡ - 4 1 + 0 2 + 0 6 - 4 2 - 0 1 + 0 2 + 16 - 2 - 0 2

A = 1 4 ⁡ - 8 6 - 8 2 + 16 - 4 = 1 4 ⁡ - 8 - 24 6 + 12 ⋅ 6 6 = 1 4 ⁡ - 32 + 72 6 = 40 24 = 5 3

A = 5 3

Logo, a área é 5 3   u . a .

Resposta

A = 5 3   u . a

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