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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 45

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = θ + 3 sen ⁡ θ

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ = ln ⁡ θ + 3 1 2 sen ⁡ θ = ln ⁡ θ + 3 1 2 + ln ⁡ sen ⁡ θ = 1 2 ln ⁡ ( θ + 3 ) + ln ⁡ sen ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

1 2 ln ⁡ ( θ + 3 ) + ln ⁡ sen ⁡ θ ' = 1 2 ln ⁡ θ + 3 ' + ln ⁡ sen ⁡ θ ' = 1 2 ln ⁡ θ + 3 ' + ln ⁡ sen ⁡ θ '

Passo 3

Para derivar ambos os termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o primeiro temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = θ + 3

1 2 ln ⁡ θ + 3 ' = 1 2 f ' g θ ⋅ g ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

f ' θ = 1 θ

g ' θ = 1

Logo,

1 2 ln ⁡ θ + 3 ' = 1 2 1 θ + 3 = 1 2 θ + 3

Para o segundo termo temos a composição de h θ = ln ⁡ θ com w θ = sen ⁡ θ . Logo

ln ⁡ sen ⁡ θ ' = h ' w θ ⋅ w ' ( θ )

Pela tabela de derivadas temos

h ' θ = 1 θ

w ' t = cos ⁡ θ

Assim,

ln ⁡ sen ⁡ θ ' = 1 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = 1 2 θ + 3 + 1 tg ⁡ θ

Mas, pelo enunciado y = θ + 3 sen ⁡ θ . Portanto,

y ' = θ + 3 sen ⁡ θ ⋅ 1 2 θ + 3 + 1 tg ⁡ θ

Resposta

y ' = θ + 3 sen ⁡ θ ⋅ 1 2 θ + 3 + 1 tg ⁡ θ

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Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.f) y = x 2 + 1 π
Utilizando o resultado obtido no Exercício 2, calcule a derivada.b) y = 1 + e x x 2