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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 41

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = x x + 1

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ x x + 1 = ln ⁡ x x + 1 1 2 = 1 2 ln ⁡ x ( x + 1 ) = 1 2 ln ⁡ x + ln ⁡ ( x + 1 )

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

1 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 ' = 1 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 ' = 1 2 ln ⁡ x ' + ln ⁡ x + 1 ' = 1 2 1 x + 1 x + 1

Fazendo o MMC temos então

x + 1 + ( x ) x ( x + 1 ) = 2 x + 1 x x + 1

Passo 3

Juntando tudo temos que

1 y y ' = 2 x + 1 x x + 1

Mas, pelo enunciado y = x x + 1 . Portanto,

y ' = x x + 1 ⋅ 2 x + 1 x x + 1

Resposta

y ' = x x + 1 ⋅ 2 x + 1 x x + 1

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