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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 46

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = 2 θ + 1 tg ⁡ θ

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 θ + 1 tg ⁡ θ = ln ⁡ 2 θ + 1 1 2 tg ⁡ θ = ln ⁡ 2 θ + 1 1 2 + ln ⁡ tg ⁡ θ = 1 2 ln ⁡ ( 2 θ + 1 ) + ln ⁡ tg ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

1 2 ln ⁡ ( 2 θ + 1 ) + ln ⁡ tg ⁡ θ ' = 1 2 ln ⁡ 2 θ + 1 ' + ln ⁡ tg ⁡ θ ' = 1 2 ln ⁡ 2 θ + 1 ' + ln ⁡ tg ⁡ θ '

Passo 3

Para derivar ambos os termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o primeiro temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = 2 θ + 1

1 2 ln ⁡ 2 θ + 1 ' = 1 2 f ' g θ ⋅ g ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

f ' θ = 1 θ

g ' θ = 2

Logo,

1 2 ln ⁡ θ + 3 ' = 1 2 1 2 θ + 1 ( 2 ) = 1 2 θ + 1

Para o segundo termo temos a composição de h θ = ln ⁡ θ com w θ = tg ⁡ θ . Logo

ln ⁡ tg ⁡ θ ' = h ' w θ ⋅ w ' ( θ )

Pela tabela de derivadas temos

h ' θ = 1 θ

w ' t = sec 2 ⁡ θ

Assim,

ln ⁡ tg ⁡ θ ' = 1 tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = 1 2 θ + 1 + sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ

Mas, pelo enunciado y = 2 θ + 1 tg ⁡ θ . Portanto,

y ' = 2 θ + 1 tg ⁡ θ ⋅ 1 2 θ + 1 + sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ

Resposta

y ' = 2 θ + 1 tg ⁡ θ ⋅ 1 2 θ + 1 + sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ

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