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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 70

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

u = x a y b z c ;   ∂ 6 u ∂ x   ∂ y 2 ∂ z 3

Passo 1

Falaeee, tudo tranquilinho? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

u = x a y b z c

E queremos determinar a seguinte derivada parcial:

∂ 6 u ∂ x   ∂ y 2   ∂ z 3

Vamos derivar essa função seis vezes seguidas. Vamos derivar três vezes em relação a z , duas vezes em relação a y e uma vez em relação a x .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Derivando primeiramente com relação a z , obtemos:

∂ ∂ z u = ∂ ∂ z x a y b z c

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ ∂ z u = x a y b ∂ ∂ z z c

Derivando pela Regra da Potência, temos:

∂ ∂ z u = x a y b c z c - 1 ∴

∂ ∂ z u = c x a y b z c - 1

Passo 3

Derivando novamente com relação a z , temos:

∂ 2 u ∂ z 2 = ∂ ∂ z c x a y b z c - 1

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ 2 u ∂ z 2 = c x a y b ∂ ∂ z z c - 1

Derivando pela Regra da Potência, temos:

∂ 2 u ∂ z 2 = c c - 1 x a y b z c - 2

Passo 4

Derivando novamente com relação a z , temos:

∂ 3 u ∂ z 3 = ∂ ∂ z c c - 1 x a y b z c - 2

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ 3 u ∂ z 3 = c c - 1 x a y b ∂ ∂ z z c - 2

Derivando pela Regra da Potência, temos:

∂ 3 u ∂ z 3 = c c - 1 c - 2 x a y b z c - 3

Passo 5

Derivando com relação a y , temos:

∂ 4 u ∂ z 3 ∂ y = ∂ ∂ y c c - 1 c - 2 x a y b z c - 3

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ 4 u ∂ z 3 ∂ y = c c - 1 c - 2 x a z c - 3 ∂ ∂ y y b

Derivando pela Regra da Potência e reorganizando, temos:

∂ 4 u ∂ z 3 ∂ y = b c c - 1 c - 2 x a y b - 1 z c - 3

Passo 6

Derivando novamente com relação a y , temos:

∂ 5 u ∂ z 3 ∂ y 2 = �� ∂ y b c c - 1 c - 2 x a y b - 1 z c - 3

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ 5 u ∂ z 3 ∂ y 2 = b c c - 1 c - 2 x a z c - 3 ∂ ∂ y y b - 1

Derivando pela Regra da Potência e reorganizando, temos:

∂ 5 u ∂ z 3 ∂ y 2 = b b - 1 c c - 1 c - 2 x a y b - 2 z c - 3

Passo 7

Derivando com relação a x , temos:

∂ 6 u ∂ z 3 ∂ y 2 ∂ x = ∂ ∂ x b b - 1 c c - 1 c - 2 x a y b - 2 z c - 3

Colocando as constantes para fora da derivada, obtemos:

∂ 6 u ∂ z 3 ∂ y 2 ∂ x = b b - 1 c c - 1 c - 2 y b - 2 z c - 3 ∂ ∂ x x a

Derivando pela Regra da Potência e reorganizando, temos:

∂ 6 u ∂ z 3 ∂ y 2 ∂ x = a b b - 1 c c - 1 c - 2 x a - 1 y b - 2 z c - 3

Resposta

∂ 6 u ∂ z 3 ∂ y 2 ∂ x = a b b - 1 c c - 1 c - 2 x a - 1 y b - 2 z c - 3

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