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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 47

Nos Exercícios de 45 a 52, uma função f e os números n , a e b são dados. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f ( x ) , o eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [ a , b ] em n subintervalos de Δ x unidades de igual comprimento e use uma calculadora para determinar a soma das áreas de n retângulos inscritos ou circunscritos (como indicado), cada um com Δ x unidades de largura.

47. f x = 1 x ,   a = 1 ,   b = 3 ,   n = 10 , retângulos circunscritos.

Passo 1

Vamos seguir os passos do enunciado e dividir o intervalo em n = 10 subintervalos de Δ x unidades com:

Δ x = b - a n = 3 - 1 10 = 2 10 = 1 5

Como serão retângulos circunscritos e a função é decrescente em [ 1,3 ] , precisamos de f x i - 1 com:

x i - 1 = a + i Δ x = 1 + i - 1 5

f x i - 1 = 1 1 + i - 1 5 = 5 4 + i

Passo 2

Agora nós fazemos as somas das áreas dos retângulos.

A ≈ ∑ i = 1 10 f x i - 1 Δ x = 1 5 ∑ i = 1 10 5 4 + i

A ≈ 1 5 5 4 + 1 + 5 4 + 2 + 5 4 + 3 + 5 4 + 4 + 5 4 + 5 + 5 4 + 6 + 5 4 + 7 + 5 4 + 8 + 5 4 + 9 + 5 4 + 10

A ≈ 1 5 5 5 + 5 6 + 5 7 + 5 8 + 5 9 + 5 10 + 5 11 + 5 12 + 5 13 + 5 14 ≈ 1,1682

A ≈ 1,1682   u . a

Resposta

A área é aproximadamente 1,1682   u . a .

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