Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma lemniscata visto que ela tem a forma de:

r 2 = ± a 2 cos ⁡ 2 θ

Dessa forma é possível calcular metade da área da curva de - π / 4 a π / 4 , tal que a área total será duas vezes o resultado obtido.

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 2 1 2 ∫ - π / 4 π / 4 16 c o s 2 θ 2 d θ

A = ∫ - π / 4 π / 4 16 c o s 2 θ d θ

Logo:

A = 16 ∫ - π / 4 π / 4 c o s 2 θ d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 16 s e n 2 θ 2 | π / 4 - π / 4

E substituindo os limites de integração:

A = 8 s e n π 2 - s e n - π 2

Como a função seno é uma função ímpar, tem-se que:

s e n - x = - s e n x

Logo:

A = 8 s e n π 2 + s e n π 2 = 16   u . a .

Resposta

16   u . a .

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