Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 54
Nos exercícios de a , calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:
Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.
Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:
Além disso, visto que a função cosseno é par , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de a , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.
Passo 2
Portanto, substituindo na equação da área da curva:
Lembrando da identidade trigonométrica:
Então:
Passo 3
Logo, resolvendo a integral:
E substituindo os limites de integração:
Logo:
Resposta
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Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?a. ( - 2 , π / 3 ) b. ( 2 , π / 3 ) c. ( r , θ ) d. ( r ,θ + π ) e. ( - r , θ ) f. ( 2 , - 2 π / 3 ) g. ( - r ,θ + π ) h. ( - 2,2 π / 3 )
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Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?a. ( 3,0 ) b. ( - 3,0 ) c. ( 2,2 π / 3 ) d. ( 2,7 π / 3 ) e. ( - 3 , π ) f. ( 2 , π / 3 ) g. ( - 3,2 π ) h. ( - 2 , - π / 3 )
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.39. r = c o t gθc o s s e cθ