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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 54

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

5 4 )   2 x y 2 + y 2 - 3 x = 0

Passo 1

Vamos escrever isso na forma y x antes de mais nada, certo? Dá uma olhada:

2 x y 2 + y 2 - 3 x = 0

y 2 2 x + 1 - 3 x = 0

y 2 2 x + 1 = 3 x

y 2 = 3 x 2 x + 1

E, portanto:

y x = ± 3 x 2 x + 1

Passo 2

Então partiu achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito:

lim x → ± ∞ ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = lim x → ± ∞ ⁡ ± x 3 x 2 + 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ ± 3 2 + 1 x

Ficamos com

lim x → ± ∞ ⁡ ± 3 2 + 1 x = ± 3 2 + 0 = ± 3 2

Já que os limites deram números podemos confirmar as assíntotas horizontais

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá ruim”. Como:

y x = ± 3 x 2 x + 1

Se analisarmos bem vamos ver que x = 0 e x = - 1 2 são os pontos pra se analisar. Afinal o primeiro zera a raiz e o segundo o denominador. Agora, da uma olhada nessa análise de sinais:

Pra raiz não ficar negativa basta a gente fazer os seguintes limites laterais:

lim x → - 1 2 - ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± - 3 2 0 - = ± + ∞ = ± ∞

lim x → 0 + ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± 0 = 0

Nesse caso só x = - 1 2 é assíntota vertical pois foi o único que explodiu pros infinitos

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± 3 2

lim x → - 1 2 - ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± 3 2

lim x → - 1 2 - ⁡ ± 3 x 2 x + 1 = ± ∞

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