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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 10

Nos Exercícios 5-10, determine uma equação para a tangente à curva em um ponto dado. Em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

y = 1 x 3 ,           ( - 2 , - 1 8 )

Passo 1

Relembrando a equação da reta tangente :

y - f a = m x - a

Nesse caso,

y + 1 8 = m x + 2

Assim, precisamos determinar o m , que é o coeficiente angular da curva no ponto dado. Para isso, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

A primeira coisa a ser feita é substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 3 - 1 x 3 h

Em seguida, vamos substituir na equação anterior o valor de x = - 2 .

m = lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h 3 - 1 - 2 3 h = lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h 3 + 1 8 h

Passo 3

Agora precisamos fazer o MMC dos termos do numerador:

m = lim h → 0 ⁡ 8 + - 2 + h 3 8 - 2 + h 3 h = lim h → 0 ⁡ 8 + - 2 + h 3 8 h - 2 + h 3

Abrindo o termo ( - 2 + h 3 = - 8 + 12 h - 6 h 2 + h 3

m = lim h → 0 ⁡ 8 - 8 + 12 h - 6 h 2 + h 3 8 h - 2 + h 3

m = lim h → 0 ⁡ h 3 - 6 h 2 + 12 h 8 h - 2 + h 3

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ h 2 - 6 h + 12 8 - 2 + h 3

m = 0 2 - 6 ∙ 0 + 12 8 - 2 + 0 3 = 12 - 64 = - 3 16

Passo 5

Lembra da equação da tangente que definimos lá em cima, agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y + 1 8 = m x + 2

y + 1 8 = - 3 16 x + 2

Reescrevendo a equação:

y = - 3 16 x - 1 2

Passo 6

Por fim, vamos desenhar a curva e a tangente encontrada.

Resposta

y = - 3 16 x - 1 2

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