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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 60

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

60. y = ( (3 t - 4)/(5 t + 2) )^(- 5)

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função precisaremos de duas regras: a regra da cadeia e a regra do quociente (considerando que seja bem trivial a regra da potenciação), ok? A regra da cadeia utilizaremos para derivar a função mais externa, que está elevada ao cubo. No entanto, uma hora ou outra precisaremos encontrar a derivada da função mais interna, que é aquela divisão ali. A regra do quociente nos diz o seguinte:

g = (u)/(v)

g^' = (u^' . v - u . v ')/(v ²)

Onde v e u são funções de t , beleza? Sabendo disso, já conseguimos derivar esse trem aí de boas, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivarmos a função mais externa, teremos:

(d y)/(d t) = - 5 . ((3 t - 4)/(5 t + 2))^(- 6) . ((3 t - 4)/(5 t + 2))^'

Como já comentado, só precisamos determinar agora a derivada daquela divisão, ok? Fazendo:

u = 3 t - 4 => u^' = 3

v = 5 t + 2 => v^' = 5

Passo 3

Agora que temos todos os valores, basta que utilizemos a regra do quociente para determinar a derivada dessa divisão. Fazendo isso, temos que:

g^' = (u^' . v - u . v ')/(v ²)

g^' = (3 . (5 t + 2) - (3 t - 4) . 5)/(( 5 t + 2 ) ²)

Substituindo em (d y)/(d t) , teremos:

(d y)/(d t) = - 5 . ((3 t - 4)/(5 t + 2))^(- 6) . [(3 . (5 t + 2) - (3 t - 4) . 5)/((5 t + 2)^2)]

:. (d y)/(d t) = (- 15 . ( 3 t - 4 )^(- 6))/(( 5 t + 2 )^(- 5)) + (25 . ( 3 t - 4 )^(- 5))/(( 5 t + 2 )^(- 4))

Resposta

(d y)/(d t) = (- 15 . ( 3 t - 4 )^(- 6))/(( 5 t + 2 )^(- 5)) + (25 . ( 3 t - 4 )^(- 5))/(( 5 t + 2 )^(- 4))

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