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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 68

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

68. y = c o s^4 ( s e c^2 (3 t) )

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função teremos que utilizar duas vezes a regra da cadeia, beleza? Uma regra para derivar o cosseno e outra regra para derivar aquela secante, que é a função mais interna, fechou? A regra nos diz o seguinte:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

Passo 2

Temos que:

u = ( s e c^2 (3 t) )

Para descobrirmos a derivada dessa função, também utilizaremos a regra da cadeia. Como a derivada de sec ( t ) é sec ( t ) . t g ( t ) , teremos:

(d u)/(d t) = 2 . sec (3 t) . sec (3 t) . t g (3 t) . 3

Perceba que derivamos a função mais externa e multiplicamos pela derivada da função mais interna, beleza?

:. (d u)/(d t) = 6 . s e c^2 (3 t) . t g ( 3 t )

Passo 3

Agora que já achamos uma derivada, basta descobrirmos a outra, se liga:

y = c o s^4 u

Utilizando exatamente o mesmo raciocínio do passo anterior, teremos:

(d y)/(d u) = 4 . c o s ³ (u) . ( - s e n (u) )

:. (d y)/(d u) = - 4 . cos ³ (u) . s e n ( u )

Passo 4

Agora que já temos todas as derivadas, já são dados suficientes para descobrirmos o resultado da derivada que queremos, que é y ' . Substituindo na regra que comentamos no primeiro passo, teremos:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

(d y)/(d t) = - 4 . cos ³ (u) . s e n (u) . 6 . s e c^2 (3 t) . t g ( 3 t )

:. (d y)/(d t) = - 24 . c o s ³ (s e c^2 (3 t)) . s e n (s e c^2 (3 t)) . s e c^2 (3 t) . t g ( 3 t )

Resposta

(d y)/(d t) = - 24 . c o s ³ (s e c^2 (3 t)) . s e n (s e c^2 (3 t)) . s e c^2 (3 t) . t g ( 3 t )

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