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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 94

Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = x sin ⁡ x

Passo 1

O enunciado pede para utilizar a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação a x. Assim, vamos utilizar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b l n   a

Sabendo disso, vamos reescrever o termo x sin ⁡ x . Beleza?

x sin ⁡ x = e sin ⁡ x ln ⁡ x  

Passo 2

Agora, vamos derivar em ambos os lados da equação e em seguida utilizar a regra da cadeia:

d y d x = d d x e sin ⁡ x ln ⁡ x  

Aplicando a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u e u = sin ⁡ x ln ⁡ x  

d f d u =   e u

Para derivar o termo   sin ⁡ x ln ⁡ x   , ou seja para encontrar d u d x utilizamos a regra do produto, Beleza?

Lembrando que f . g ' = f ' . g + f . g '

Nesse caso, considere f = sin ⁡ x     e g =   ln ⁡ x

E assim teremos: f ' = cos ⁡ x

g ' =   1 x

Logo, f . g ' = cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores encontrados:

d y d t = e u   . cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x  

d y d t = e sin ⁡ x ln ⁡ x     . cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x  

Lembre que x sin ⁡ x = e sin ⁡ x ln ⁡ x   então substituímos esse valor também. Certo?

d y d t = x sin ⁡ x   . cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x

Resposta

d y d t = x sin ⁡ x   . cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x

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