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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 56

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = ln ⁡ ( 3 θ e - θ )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aqui temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = 3 θ e - θ . Pela regra da cadeia temos que

y ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' θ = 1 θ

A segunda derivada vai pedir a regra do produto, pois temos o produto de h θ = 3 θ com w θ = e - θ . Pela regra da cadeia temos que

g ' θ = h ' θ w θ + h θ w ' ( θ )

Pela tabela de derivadas temos que

h ' θ = 3

w ' θ = - e - θ

Assim,

g ' θ = 3 e - θ - 3 θ e - θ = 3 e - θ 1 - θ

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = 1 3 θ e - θ 3 e - θ 1 - θ = 1 - θ θ

Resposta

y ' = 1 - θ θ

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