Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

A soma dos quadrados das distâncias de qualquer ponto a dois vértices opostos de qualquer retângulo é igual à soma dos quadrados de suas distâncias aos outros dois vértices.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um ponto P (x,y) e um retângulo cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,b) e D (a,0).

Vamos calcular agora a distância do ponto P até cada um dos vértices:

d P A ² = x - 0 2 + y - 0 2 = x ² + y ²

d P B ² = x - 0 2 + y - b 2 = x ² + ( y - b ) ²

d P C ² = x - a 2 + y - b 2

d P D ² = x - a 2 + y 2 = ( x - a ) ² + y ²

Os pares de vértices opostos são (A,C) e (B,D). Sendo assim, a soma das suas distâncias ao quadrado são:

d P A ² + d P C ² = x ² + y ² + x - a 2 + y - b 2 = x ² + y ² + x ² - 2 a x - a 2 + y 2 - 2 b y + b 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2

d P B ² + d P D ² = x ² + y - b 2 + x - a 2 + y 2 = x ² + y ² - 2 y b + b 2 + x 2 - 2 a x + a 2 = = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2

Ou seja,

d P A ² + d P C ² = d P B ² + d P D ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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