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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 61

Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

A soma dos quadrados das distâncias de qualquer ponto a dois vértices opostos de qualquer retângulo é igual à soma dos quadrados de suas distâncias aos outros dois vértices.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um ponto P (x,y) e um retângulo cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,b) e D (a,0).

Vamos calcular agora a distância do ponto P até cada um dos vértices:

d P A ² = x - 0 2 + y - 0 2 = x ² + y ²

d P B ² = x - 0 2 + y - b 2 = x ² + ( y - b ) ²

d P C ² = x - a 2 + y - b 2

d P D ² = x - a 2 + y 2 = ( x - a ) ² + y ²

Os pares de vértices opostos são (A,C) e (B,D). Sendo assim, a soma das suas distâncias ao quadrado são:

d P A ² + d P C ² = x ² + y ² + x - a 2 + y - b 2 = x ² + y ² + x ² - 2 a x - a 2 + y 2 - 2 b y + b 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2

d P B ² + d P D ² = x ² + y - b 2 + x - a 2 + y 2 = x ² + y ² - 2 y b + b 2 + x 2 - 2 a x + a 2 = = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2

Ou seja,

d P A ² + d P C ² = d P B ² + d P D ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Exercícios de Livros Relacionados

Dados A = (3, 5, 2) e B = (−1, −1, 4) escreva equações paramétricas para a reta paralela a AB passando pelo ponto C = (2, 1, 5).
Verifique se as retas r: (x,y,z) = (9t, 1+6t, -2+3t) e s: (x,y,z) = (1+2t, 3+t, 1) se interceptam e em caso afirmativo determine a interseção.
Sejam r e s as retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0)e por C = (-3, 1, -4) e D = (-1, 2, -7),respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V
Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas. r 1 :x = 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais. r 2 : x + 1 =y - 1 2 = z + 2 3
Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.b) r 1 :x = - 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais. r 2 : x =y - 4 2 = z - 3 3