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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 75

Os Exercícios de 75 a 81 pertencem à Secção Suplementar 7.8. Nos Exercícios 75 e 76, ache a solução completa da equação diferencial.

75 )   x ² . d y d x + 2 x y = 3 x ² + 1

Passo 1

Segundo o Teorema 7.8.1, a solução completa da equação diferencial:

d y d x + P x y = Q ( x )

É

y = e - ∫ P x . d x . ∫ Q ( x ) . e ∫ P x . d x . d x + C . e - ∫ P x . d x

O primeiro passo para resolver a equação é manipulá-la para a forma dada pelo Teorema:

x ² . d y d x + 2 x y = 3 x ² + 1

d y d x + 2 x y x ² = 3 x 2 x ² + 1 x ²

d y d x + 2 x . y = 3 + 1 x ²

Então:

P x = 2 x

Q x = 3 + 1 x ²

Passo 2

Calculando

∫ P x . d x = ∫ 2 x . d x = 2 . ln ⁡ x

e - ∫ P x . d x = e - 2 . ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 2 = 1 x ²

∫ Q ( x ) . e ∫ P x . d x . d x = ∫ ( 3 + 1 x ² ) . e ln ⁡ x ² . d x = ∫ ( 3 + 1 x ² ) . x ² . d x = ∫ 3 x ² . d x + ∫ d x

= x ³ + x

C . e - ∫ P x . d x = C x ²

Substituindo:

y = 1 x 2 . ( x 3 + x ) + C x ²

y = x + 1 x + C x ²

Resposta

y = x + 1 x + C x ²

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