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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 77

Nos Exercícios 77 e 78, ache uma solução da equação diferencial, que satisfaça a condição dada.

77 ) cos ⁡ x . d y d x = 1 - y - s e n   x ; y = 2   q u a n d o   x = 0 .

Passo 1

Segundo o Teorema 7.8.1, a solução completa da equação diferencial:

d y d x + P x y = Q ( x )

É

y = e - ∫ P x . d x . ∫ Q ( x ) . e ∫ P x . d x . d x + C . e - ∫ P x . d x

O primeiro passo para resolver a equação é manipulá-la para a forma dada pelo Teorema:

cos ⁡ x . d y d x = 1 - y - s e n   x

d y d x + 1 cos ⁡ x y = 1 - s e n   x cos ⁡ x .

Então:

P x = 1 cos ⁡ x

Q x = 1 - s e n   x cos ⁡ x .

Passo 2

Calculando cada termo de y:

∫ P x . d x = ∫ 1 cos ⁡ x . d x = ∫ sec ⁡ x . d x = ln ⁡ | t g   x + sec ⁡ x |

e - ∫ P x . d x = e ln ⁡ | t g   x + sec ⁡ x | - 1 = 1 t g   x + sec ⁡ x = cos ⁡ x s e n   x + 1

∫ Q ( x ) . e ∫ P x . d x . d x = ∫ 1 - s e n   x cos ⁡ x . 1 + s e n   x cos ⁡ x . d x = ∫ 1 - s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 cos ² ⁡ x d x - ∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = ∫ s e c ²   x d x - ∫ t g 2 x d x = ∫ s e c ²   x d x - ∫ s e c ² x d x + ∫ d x = x

C . e - ∫ P x . d x = C . cos ⁡ x s e n   x + 1

Substituindo:

y = cos ⁡ x s e n   x + 1 . x + C . cos ⁡ x s e n   x + 1

y = cos ⁡ x s e n   x + 1 . ( x + C )

y = 1 t g   x + sec ⁡ x . ( x + C )

Passo 3

Substituindo y = 2   e   x = 0 :

2 = 1 t g   0 + sec ⁡ 0 . ( 0 + C )

2 = C

y = 1 t g   x + sec ⁡ x . ( x + 2 )

Resposta

y = 1 t g   x + sec ⁡ x . ( x + 2 )

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