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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 83

Nos Exercícios 79-84, determine o valor de ( f ∘ g ) ' no valor fornecido de x.

83. f u = 2 u u 2 + 1 ,         u = g x = 10 x 2 + x + 1 ,         x = 0

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos uma função composta, isto é, uma função que tem como domínio a imagem de outra função, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f ∘ g ' x = d y d x = d y d u × d u d x

Utilizaremos, conforme discutido na seção 6 do George, a notação de Leibniz, que facilita bastante o entendimento da derivada, beleza? Nessa questão, temos que:

y =   2 u u 2 + 1

u = 10 x 2 + x + 1

Passo 2

Para descobrirmos a derivada de y , isto é, y ' , devemos utilizar a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

y ' = w ' . v - w . v ' v ²

w = 2 u ⇒ w ' = 2

v = u 2 + 1 ⇒ v ' = 2 u

Aplicando na regra do quociente, teremos:

d y d u = 2 . u 2 + 1 - 2 u . 2 u ( u 2 + 1 ) ²

Ademais:

d u d x = 20 x + 1

Passo 3

Agora que já temos todas as derivadas, vamos jogar os resultados lá na regra da cadeia que comentamos no primeiro passo, ok? Fazendo isso, temos:

d y d x = 2 . u 2 + 1 - 4 u 2 u 2 + 1 2 . ( 20 x + 1 )

d y d x = - 2 10 x 2 + x + 1 2 + 2 10 x 2 + x + 1 + 1 2 . ( 20 x + 1 )

Aplicando o ponto dado, que é x = 0 , teremos:

d y d x = - 2.1 + 2 2 ² . 1 = 0

∴ f ∘ g ' 0 = 0

Resposta

f ∘ g ' 0 = 0

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