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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 22

Calcular ∬_R^() ( x + y ) d x d y , onde R é a região por x + y = 4 , x + y = 0 , y - x = 0 e y - x = - 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x + y = u e y - x = v

Isolando x e y , temos

x = (1)/(2) ( u - v ) e y = (1)/(2) ( u + v )

O jacobiano dessa transformação será igual a (1)/(2) :

J = |[[(1)/(2),-,(1)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2)]]| = (1)/(4) + (1)/(4) = (1)/(2)

A nova região se dará como um retângulo com:

u = 0 , u = 4 , v = 0 e v = - 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ [(1)/(2) (u - v) + (1)/(2) (u + v)] * (1)/(2) d u d v = (1)/(2) ∬ u d u d v

(1)/(2) int_(- 1)^0 int_0^4 u d u d v

Passo 3

Integrando para u :

(1)/(2) int_0^4 u d u = (u^2)/(4)

Aplicando os limites:

(16 - 0) * (1)/(4) = 4

Passo 4

Integrando para v :

int_(- 1)^0 4 d v = 4 v

Aplicando os limites:

(0 + 1) * 4 = 4

Resposta

4

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