Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 9
Determine a parea da lemniscata
Passo 1
Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos que relembrar as formulinhas que vimos nas explicações da matéria:
Onde temos que:
Passo 2
Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:
Então, colocamos os valores:
Vamos resolver essa equação:
Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que , logo,
Passo 3
Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:
Passo 4
Então, delimitamos nossa região:
Onde nossa região é delimitada por:
E a gente tem as equações:
Então nossa região em fica:
Passo 5
Por fim, montamos as integrais e calculamos:
Integramos a primeira vez:
E integramos denovo:
Só temos mais um detalhe antes de acabar: essa é a integral apenas para , pois pegamos o intervalo de . Para contabilizar o outro quadrante, precisamo multiplicar o resultado por 2, ainda! Assim, a área total será .
E prontinho. 😊