Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 9

Determine a parea da lemniscata

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos que relembrar as formulinhas que vimos nas explicações da matéria:

Onde temos que:

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

Então, colocamos os valores:

Vamos resolver essa equação:

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos que , logo,

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região é delimitada por:

E a gente tem as equações:

Então nossa região em fica:

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

Integramos a primeira vez:

E integramos denovo:

Só temos mais um detalhe antes de acabar: essa é a integral apenas para , pois pegamos o intervalo de . Para contabilizar o outro quadrante, precisamo multiplicar o resultado por 2, ainda! Assim, a área total será .