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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 7a

Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:

∫ ∫ D d x   d y 1 + x 2 + y 2 2 , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 }

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos essa formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r s in ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q 1 1 + x 2 + y 2 2 ⋅ r d r d θ

Agora substituímos as variáveis:

= ∫ ∫ Q r 1 + r 2 2 d r d θ

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x 2 + y 4 ≤ 4

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então nossa região em Q fica:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + r 2 2   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 π - 1 2 1 + r 2 2 0 2   d θ

= ∫ 0 2 π 4 10   d θ

E integramos denovo:

A = 4 10 θ 0 2 π

= 8 π 10 = 4 π 5

E prontinho. 😊

Resposta

A = 4 π 5

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