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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 13

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 6 ∫ 0 y x   d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

x = 0

x = y

Ou seja:

r cos ⁡ θ = r   s e n θ

θ = π 4

E :

x = 0

r cos ⁡ θ = 0

θ = π 2

E dado que y vai até 6:

y = 6

r   s e n θ = 6

r = 6 s e n θ = 6   c o s s e c ( θ )

E dado que a função é x:

x = r   c o s ⁡ ( θ )

Passo 3

Assim:

∫ 0 6 ∫ 0 y x   d x   d y = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 6   c o s s e c θ r cos ⁡ θ r   d r   d θ

  ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ 3 r 3 0 6   c o s s e c θ d θ

1 3 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ 6 3 c o s s e c 3 θ   d θ

6 3 3 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ s e n 3 θ   d θ

Fazendo u = s e n ( θ ) logo d u = cos ⁡ θ d θ

6 3 3 ∫ π 4 π 2 1 u 3 d u  

6 3 3 ∫ π 4 π 2 u - 3 d u  

6 3 3 - 1 2 u 2

Lembrando u = s e n ( θ )

6 3 3 - 1 2 s e n 2 θ π 4 π 2

6 3 3 - 1 2 - - 1 2 2 4

6 3 3 1 2

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Resposta

∫ 0 6 ∫ 0 y x   d x   d y = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 6   c o s s e c θ r cos ⁡ θ r   d r   d θ

E o valor da integral é:

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Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a ∫ π / 2 π∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ
A região limitada por ambos cardioides r = 1 + cos ⁡ θ e r = 1 - cos ⁡ θ
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y 2 x 2 + y 2 d A Onde R é a região que fica entre os círculos x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 com 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 2 x - y d A Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D cos ⁡ x 2 + y 2 d A Onde D é o disco com centro na origem e raio 2.