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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8n

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação 4 x + 2 y ≤ 3 x + y + 1 , além de x ≥ 0 e y ≥ 0 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E, o valor de y será determinado neste caso por:

0 ≤ y ≤ 1 - x

Ou:

0 ≤ y ≤ 1

E, para determinar o valor de x neste caso:

0 ≤ x ≤ 1 - y

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 3 x + y + 1 - 4 x + 2 y d x d y

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y - x - y + 1 d x d y

Resolvendo a integral em relação à x :

V = ∫ 0 1 - x 2 2 - x y + x | x = 1 - y x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ 0 1 - 1 - y 2 2 - y 1 - y + 1 - y d y

V = ∫ 0 1 1 - y 2 - 1 2 1 - y 2 d y

V = ∫ 0 1 1 2 1 - y 2 d y

V = 1 2 ∫ 0 1 1 - 2 y + y 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y :

V = 1 2 y - y 2 + y 3 3 | y = 1 y = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = 1 2 1 - 1 + 1 3

V = 1 6

Resposta

1 6

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