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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8g

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x 2 + y 2 ≤ a 2 que representa uma circunferência de raio r = a . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

- a ≤ x ≤ a

E

- a 2 - x 2 ≤ y ≤ a 2 - x 2

Ou:

- a ≤ y ≤ a

E

- a 2 - y 2 ≤ x ≤ a 2 - y 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 a 2 - y 2 - - a 2 - y 2 d x d y

V = ∫ - a a 2 ∫ 0 a 2 - y 2 2 a 2 - y 2 d x d y

Resolvendo a integral em relação à x :

V = 4 ∫ - a a a 2 - y 2 x | x = a 2 - y 2 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = 4 ∫ - a a a 2 - y 2 a 2 - y 2 d y

V = 4 ∫ - a a a 2 - y 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y :

V = 4 a 2 y - y 3 3 | y = a y = - a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = 4 a 3 - a 3 3 + a 3 - a 3 3

V = 4 4 a 3 3 = 16 a 3 3

Resposta

16 a 3 3

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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2d xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2d xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 1 2 ∫ 0 ln ⁡ x f x , yd yd x