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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8o

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x ≤ y ≤ π 3 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ π 2 / 3

E, o valor de y será determinado neste caso por:

x ≤ y ≤ π 3

Ou:

0 ≤ y ≤ π 3

E, para determinar o valor de x neste caso:

0 ≤ x ≤ y 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ 0 π 3 ∫ 0 y 2 s e n y 3 d x d y

Resolvendo a integral em relação à x :

V = ∫ 0 π 3 s e n y 3 x | x = y 2 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ 0 π 3 y 2 s e n y 3 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y através do método da substituição simples com u = y 3 e e d u = 3 y ² d y , tem-se que:

Quando y = π 3 → u = π

Quando y = 0 → u = 0

V = ∫ 0 π s e n u d u 3

V = 1 3 - c o s u | y = π y = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = - 1 3 cos ⁡ π - cos ⁡ 0

V = 2 3

Resposta

2 3

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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ x 1 e x / yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 8 ∫ y 3 2 e x 4d xd y
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x f x , y d y d x
43) Esboce a região de integração e mude a ordem de integração ∫ 0 1 ∫ 0 y f x , y d x d y