Enunciado

Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

22. d d x 1 + s e n x x c o s x

Passo 1

Primeiro vamos aplicar a Regra do Quociente para resolver a derivada:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

No nosso caso fica:

d d x 1 + s e n x x c o s x - ( 1 + s e n x ) d d x ( x c o s x ) x 2 c o s 2 x

Passo 2

A primeira derivada que apareceu podemos resolver diretamente:

d d x 1 + s e n x = c o s x

Passo 3

Na segunda precisamos aplicar a Regra do Produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Que vai ficar:

d d x x c o s x = d d x x c o s x + x d d x ( c o s x )

Resolvendo:

d d x x c o s x = c o s x - x s e n x

Passo 4

E então substituiremos os resultados dos passos 2 e 3 no quociente do Passo 1:

x c o s 2 x - 1 + s e n x ( c o s x - s e n x ) x 2 c o s 2 x

Resposta

x c o s 2 x - 1 + s e n x ( c o s x - s e n x ) x 2 c o s 2 x

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