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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 55

Nos Exercícios de 51 a 56, ache (d y)/(d x) .

55) y = root(3)(x)

Passo 1

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x_1 + Delta x) - f ( x_1 ))/(Delta x)

Assumindo que f ( x ) = root(3)(x) , temos:

f (x_1 + Delta x) = root(3)((x_1 + Delta x)) e

f (x_1) = root(3)((x_1))

Logo, aplicando na definição:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (root(3)((x_1 + Delta x)) - [ root(3)((x_1)) ])/(Delta x)

Multiplicando numerador e denominador por ((root(3)((x_1 + Delta x)))^2 + root(3)((x_1 + Delta x)) . root(3)((x_1)) + (root(3)((x_1)))^2) , poderemos utilizar o produto notável a^3 - b^3 = (a - b) . (a^2 + a b + b^2) e então eliminar as raízes cúbicas.

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((root(3)((x_1 + Delta x)) - [root(3)((x_1))]))/(Delta x) . (((root(3)((x_1 + Delta x)))^2 + root(3)((x_1 + Delta x)) . root(3)((x_1)) + (root(3)((x_1)))^2))/((((root(3)((x_1 + Delta x)))^2 + root(3)((x_1 + Delta x)) . root(3)((x_1)) + (root(3)((x_1)))^2)))

Simplificando, temos:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta x)/(Delta x . ((root(3)((x_1 + Delta x)))^2 + root(3)((x_1 + Delta x)) . root(3)((x_1)) + (root(3)((x_1)))^2))

Desenvolvendo, fica:

f^' (x) = (1)/(3 . (root(3)(x))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(3 . (root(3)(x))^2)

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