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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 5

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

5 .     g x = t g ( x ) + c o t g ( x )

Passo 1

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos:

1 º   t e r m o - t g x

2 º   t e r m o - c o t g ( x )

Pela trigonometria sabemos:

t g ( x ) =   s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

c o t g x =   1 t g ( x ) =   c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Ficamos então com:

g x =   s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Usaremos a regra do quociente para derivar as funções separadamente e depois iremos somá-las.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

1º - Derivada de tg(x):

s e n x c o s x ' =   s e n x ' ⋅ c o s x -   c o s x ' ⋅ s e n x c o s x 2

                                  =   ( c o s x ) ⋅ c o s x - ( - s e n x ) ⋅ ( s e n x ) ( c o s x ) ²

                                  = s e n 2 x +   c o s ² x ( c o s x ) ²

Passo 3

2º - Derivada de cotg(x):

cos ⁡ x s e n   x '     =   c o s x ' ⋅ s e n x -   s e n x ' ⋅ c o s x s e n x 2

                                              = ( - s e n x ) ⋅ s e n x - ( c o s x ) ⋅ ( c o s x ) ( s e n x ) ²

                                              = - s e n 2 x -   c o s ² x ( s e n x ) ²

                                            = - ( s e n 2 x + c o s 2 x ) ( s e n x ) ²

Passo 4

Pela identidade trigonométrica podemos obter as informações:

s e n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

1 s e n ( x ) = c o s e c ( x )

1 c o s ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x )

Passo 5

Substituindo no nosso resultamos temos:

t g x ' = s e n 2 x +   c o s ² x ( c o s x ) ² =   1 ( c o s x ) ² =   s e c 2 x

c o t g x ' =   - ( s e n 2 x + c o s 2 x ) ( s e n x ) ² =   - 1 s e n x 2 =   - c o s e c ² x

Passo 6

Por fim, somamos as duas derivadas encontradas.

g ' x = t g x ' + c o t g x '

                      = s e c 2 x - c o s e c ² x

Resposta

g ' x = s e c 2 ( x ) - c o s e c ² ( x )

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