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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 9

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

9 .     g x = x s e n x + c o s ( x )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função que será:

g ' x = x s e n x ' + ( c o s x ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos:

1 º   t e r m o - x s e n x

2 º   t e r m o - c o s ⁡ ( x )

Usaremos a regra do produto para derivar o 1º termo.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Já o 2º termo não tem muito mistério, é só derivar normalmente.

Passo 2

1º - Derivada de x s e n x

x s e n x ' =   x ' ⋅ s e n x + s e n x ' ⋅ x

                                  =   1 ⋅ s e n x + c o s x ⋅ x

                                  = s e n x + x c o s x

Passo 3

2º - Derivada de cos(x)

c o s x '     =   - s e n x

Passo 4

Por fim, somamos as duas derivadas:

g ' x = s e n x + x c o s x + ( - s e n x )

                        = s e n x + x c o s x - s e n x

                        = x c o s x

Resposta

g ' x = x c o s ( x )

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