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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 11

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

11 .     h x = 4 s e n x c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função:

h x = 4 s e n x c o s ⁡ ( x )

Que também podemos deixá-la na forma:

h x = 4 ( s e n x cos ⁡ x )

A partir daí fica fácil pois vamos usar a regra do produto para derivar.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

Derivando:

h ' x = 4 ' ⋅ s e n x   c o s x + s e n x   c o s x ' ⋅ 4

Passo 3

Observe que para descobrirmos quem é h ' x temos que descobrir primeiro quem é s e n x   c o s x ' e para isso vamos usar a regra do produto mais uma vez apenas nesse termo, ou seja:

            s e n x   c o s x ' = s e n x ' ⋅ c o s x + s e n x ⋅ ( c o s x ) '

                                                          = c o s x ⋅ c o s x + s e n x ⋅ ( - s e n x )

  = c o s 2 x - s e n ² x

Passo 4

Agora que achamos o que falta podemos voltar para nossa derivada inicial substituindo o que encontramos para conseguir o nosso resultado:

h ' x = 4 ' ⋅ s e n x   c o s x + s e n x   c o s x ' ⋅ 4

                      = 0 ⋅ s e n x   c o s x + ( c o s 2 x - s e n ² x ) ⋅ 4

= 4 ⋅ ( c o s 2 x - s e n ² x )

Resposta

h ' x = 4 ( c o s 2 x - s e n 2 x )

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