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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 74

Nos Exercícios 73 e 74, aproxime as integrais duplas de ƒ(x, y) sobre a região R particionada pelas retas verticais dadas x = a e retas

horizontais y = c. Em cada sub-retângulo, utilize (xk, yk) conforme

indicado para sua aproximação

∬ R   f ( x , y ) d A ≈ ∑ k = 1 n   f x k , y k Δ A k

f ( x , y ) = x + 2 y sobre a região R dentro do círculo ( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1 utilizando a partição x = 1,3 / 2,2 , 5/2,3 e y = 2 , 5 / 2,3 , 7 / 2,4 com x k , y k no centro (centroide) do k -ésimo sub-retângulo (contanto que o sub-retângulo esteja dentro de R )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos estimar uma integral dupla utilizando um somatório de áreas de subretângulos.

Passo 2

Pela definição de integral dupla, temos que: ∬ R   f ( x , y ) d A ≈ ∑ k = 1 n   f x k , y k Δ A k

Passo 3

Agora vamos determinar a integral da função f ( x , y ) = x + 2 y no interior do círculo ( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1 utilizando porções para x de:

x = 1,3 / 2,2 , 5 / 2,3

E porções me para y de:

y = 2,5 / 2,3 , 7 / 2 , , 4

De tal forma que x k , y k é um retângulo no centroide da região R .

Passo 4

Sendo assim, temos que:

f 7 4 , 11 4 = 29 4 f 9 4 , 11 4 = 31 4 f 7 4 , 13 4 = 33 4 f 9 4 , 13 4 = 35 4

E todos os elementos de área possuem:

Δ A = 1 4

Sendo assim:

∬ R   f ( x , y ) d A ≈ 1 4 ( 29 + 31 + 33 + 35 ) = 128 16 = 8

Resposta

observe que o valor aproximado da integral é 8 .

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