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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 1

Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.

  1. z = 5 x y - x 2

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ z ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ 5 x + ∆ x y - x + ∆ x 2 - 5 x y + x 2 ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ 5 x y + 5 y ∆ x - x 2 - 2 x ∆ x - ∆ x 2 - 5 x y + x 2 ∆ x

= l i m ∆ x → 0 ( 5 y - 2 x - ∆ x )

= 5 y - 2 x

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ z ∂ y = lim ∆ y → 0 ⁡ f x , y + ∆ y - f ( x , y ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ 5 x y + ∆ y - x 2 - 5 x y + x 2 ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ 5 x y + 5 x ∆ y - x 2 - 5 x y + x 2 ∆ y

= 5 x

Resposta

∂ z ∂ x = 5 y - 2 x

∂ z ∂ y = 5 x

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7. Usando a definição, determinar, se existirem ∂ f ∂ x 0,2e ∂ f ∂ y 0,2 , sendo f x , y = x 2 y sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0
6. Usando a definição 4.1.1, mostra que f x , y = x 1 5 y 1 3 tem derivadas parciais na origem, valendo ∂ f ∂ x 0,0 = 0e ∂ f ∂ y 0,0 = 0 .
Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.5) f x , y = x 2 y + 3 y 2