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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 6

6. Usando a definição 4.1.1, mostra que f x , y = x 1 5 y 1 3 tem derivadas parciais na origem, valendo ∂ f ∂ x 0,0 = 0   e ∂ f ∂ y 0,0 = 0 .

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ f ∂ x ( 0,0 ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x , 0 - f ( 0,0 ) ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x 1 5 . 0 1 3 - 0 1 5 ⋅ 0 1 3 ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ 0 ∆ x = 0

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ f ∂ y ( 0,0 ) = lim ∆ y → 0 ⁡ f 0,0 + ∆ y - f ( 0,0 ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ 0 1 5 0 + ∆ y 1 3 - 0 1 5 ⋅ 0 1 3 ∆ y = 0

Resposta

lim ∆ x → 0 ⁡ 0 ∆ x = 0 lim ∆ y → 0 ⁡ 0 ∆ y = 0

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