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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 5

Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.

5) f x , y = x 2 y + 3 y 2

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 y + 3 y 2 - x 2 y - 3 y 2 ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 y + 2 x y ∆ x + ∆ x 2 y + 3 y 2 - x 2 y - 3 y 2 ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ ( 2 x y - ∆ x y )

= 2 x y

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ f ∂ y = lim ∆ y → 0 ⁡ f x , y + ∆ y - f ( x , y ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x 2 y + ∆ y + 3 y + ∆ y 2 - x 2 y - 3 y 2 ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x 2 y + x 2 ∆ y + 3 y 2 + 3 ⋅ 2 y ∆ y + 3 ∆ y 2 - x 2 y - 3 y 2 ∆ y

= l i m ∆ y → 0 ( x 2 + 6 y + 3 ∆ y )

= x 2 + 6 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y

∂ f ∂ y = x 2 + 6 y

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