Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 45

Use a definição de derivadas parciais como limites (4) para encontrar f x ( x ,   y ) e f y ( x ,   y ) .

f x , y = x y 2 - x 3 y

Passo 1

Beleza, galera.

Nessa questão nós temos que calcular as derivadas parciais de f x , y com relação a x e y usando a definição.

Como primeiro passo, vamos relembrar o conceito de derivada parcial de uma função usando limites:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Shoooow de bola! Agora é só aplicar essa definição na nossa função do enunciado. Partiu?

Passo 2

Agora que relembramos as definições de derivada parcial através do uso de limites, vamos fazer algumas continhas....

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

Substituindo   x por x + h em f , temos

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x + h y 2 - x + h 3 y - x y 2 - x 3 y h

Lembrando que

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Assim, temos

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x y 2 + h y 2 - x 3 y - 3 x 2 h y - 3 x h 2 y + h 3 y - x y 2 - x 3 y h

Podemos simplificar alguns termos:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ h y 2 - 3 x 2 h y - 3 x h 2 y + h 3 y h

Dividindo todos os termos por h , temos:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ y 2 - 3 x 2 y - 3 x h y + h 2 y

Por fim, aplicando o limite:

∂ f ∂ x x , y = y 2 - 3 x 2 y

Passo 3

Vamos calcular agora ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Substituindo y por y + h em f , temos:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x y + h 2 - x 3 y + h - x 2 y - x 3 y h

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x y 2 + 2 x y h + x h 2 - x 3 y - x 3 h - x y 2 - x 3 y h

Vamos simplificar alguns termos:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x y h + x h 2 - x 3 h h

Dividindo todos os termos por h ,   obtemos:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x y + x h - x 3

∂ f ∂ y x , y = 2 x y - x 3

Resposta

∂ f ∂ x x , y = y 2 - 3 x 2 y

∂ f ∂ y x , y = 2 x y - x 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. p = t 4 + u 2 cos ⁡ v
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. R p , q = tan - 1 ⁡ ( p q 2 )
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. u = x y z
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. g u , v = u 2 v - v 3 5