Nos exercícios de 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.

3) f(x, y, z) = xy + z , P(2, 1, 0) na direção do eixo positivo z.

Passo 1

Bom galera, este parece ser mais difícil, mas não !

Segundo o problema, o ponto Q só irá alterar somente no eixo positivo de z.

Então, o ponto Q terá as coordenadas ( 2 ,   1 ,   s ) .

Desenhando:

Passo 2

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f 2 ,   1 ,   s - f ( 2 ,   1 ,   0 ) s

Sabendo que a função é f x ,   y , z = x y + z :

f 2 ,   1 ,   s = 2.1 + s = 2 + s

E:

f 2 ,   1 ,   0 = 2.1 + 0 = 2

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ 2 + s - 2 s

= lim s → 0 ⁡ s s

= lim s → 0 ⁡ 1

Resolvendo o limite:

∂ f ∂ s P = 1

Finalizamos galeraa!

Resposta

∂ f ∂ s P = 1

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