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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios práticos - Ex. 44

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras se ƒ(x, y) é diferenciável em (x0, y0)? Justifique suas respostas.

a. Se u é um vetor unitário, a derivada de ƒ em (x0, y0) na direção de u é (ƒx(x0, y0)i + ƒy(x0, y0)j) ∙ u.

b. A derivada de ƒ em (x0, y0) na direção de u é um vetor.

c. A derivada de ƒ em (x0, y0) tem seu valor mais alto na direção de §ƒ.

d. Em (x0, y0), o vetor §ƒ é normal à curva ƒ(x, y) = ƒ(x0, y0).

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! No item a, precisamos achar a função parcialmente derivada em x e em y, aplicada em 2 pontos. Para isso usaremos uma informação da questão, dado por:

∇ f = a i + b j

No ponto ( 1,2 ) . A o vetor em direção a (2,2) é determinado por v 1 = 2 - 1 i + 2 - 2 j = i = u . Significa então que se ele tem uma derivada de 2 em uma direção ( 2,2 ) , signca que:

∇ f ⋅ u = 2

Logo,

a = 2

Analogamente,

b = 2

Portanto, o gradiente da função pode ser dado por:

∇ f = 2 i + 2 j

Logo,

F x ( 1,2 ) = F y ( 1,2 ) = 2

Passo 2

Agora, no item b), podemos determinar um vetor em direção de ( 4,6 ) dado por:

v 3 = 4 - 1 i + 6 - 2 j = 3 i + 4 j

Dessa forma,

u = v ∇ f = 3 5 i + 4 5 j

Portanto,

∇ f ⋅ u = 14 5

Resposta

a ) F x ( 1,2 ) = F y ( 1,2 ) = 2

b ) 14 5

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