Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios práticos - Ex. 40

Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais ƒ cresce e decresce mais rapidamente em P0 e encontre a derivada de ƒ em cada direção. Encontre também a derivada de ƒ em P0 na direção do vetor v.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos as direções de crescimento e decrescimento de precisamos achar o seu gradiente, dado por:

E a partir disso, encontraremos o vetor unitário do gradiente de .

Temos então que para:

Temos:

Dessa forma aplicado ao ponto:

Para encontrar o vetor unitário, precisamos primeiro do módulo de , dado por:

O vetor unitário gradiente por sua vez é dado por:

Significando que cresce mais rapidamente nessa direção, e descresce justamente no negativo dela, ou seja:

Resposta

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Nos exercícios 2 a 6 , calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados:5. f x , y = 2 - x 2 - y 2 , P ( 1 ,1 ) , na direção do vetor tangente unitário à curva C : r →

Nos exercícios 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.6. f x ,y ,z = 2 x + 3 y - z ,P 1 ,1 ,- 1 na direção do eixo positivo dos y .

12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x

6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:c) f ( x ,y ) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,0 .