Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais ƒ cresce e decresce mais rapidamente em P0 e encontre a derivada de ƒ em cada direção. Encontre também a derivada de ƒ em P0 na direção do vetor v.

f(x, y, z) = x^2 + 3xy - z^2 + 2y + z + 4 P0(0, 0, 0)

v = i + j + k

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos as direções de crescimento e decrescimento de f precisamos achar o seu gradiente, dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

E a partir disso, encontraremos o vetor unitário do gradiente de ∇ f .

Temos então que para:

f x , y = x 2 + 3 x y - z 2 + 2 y + z + 4   P 0 0,0 , 0

Temos:

∇ f = 2 x + 3 y i + 3 x + 2 j + 1 - 2 z k

Dessa forma aplicado ao ponto:

∇ f = 2 j + k

Para encontrar o vetor unitário, precisamos primeiro do módulo de ∇ f , dado por:

∇ f = 2 2 + 1 2 = 5

∇ f = 5

O vetor unitário gradiente por sua vez é dado por:

u = ∇ f ∇ f = 2 5 j + 1 5 k

Significando que f cresce mais rapidamente nessa direção, e descresce justamente no negativo dela, ou seja:

- u = - 2 5 j - 1 5 k

Resposta

u = ∇ f ∇ f = 2 5 j + 1 5 k

- u = - 2 5 j - 1 5 k

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