Nos exercícios 2 a 6 , calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados:

5. f(x, y) = 2 - x^2 - y^2 , P(1, 1) , na direção do vetor tangente unitário à curva C: r → (t, t^2) em P(1, 1) .

Passo 1

Para calcular a derivada direcional, precisamos primeiro encontrar o vetor unitário que tangente a curva dada. Podemos encontrar ele derivando a curva. Assim temos:

r → t = t , t 2

A derivada é a seguinte:

r → ' t = ( 1,2 t )

Agora calculamos no ponto ( 1,1 )

r → ' 1 = ( 1,2 )

Passo 2

Assim, o vetor tangente unitário b → é o seguinte:

b → = r → ' 1 r → ' 1

Substituindo os valores temos:

b → = 1 ,   2 5 = 1 5 , 2 5

Passo 3

Logo pelo gráfico

Temos que Q é o seguinte:

Q = 1 + s 5 , 1 + 2 s 5

Passo 4

Pela definição de derivada direcional, temos que:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f 1 + s 5 , 1 + 2 s 5 - f 1 ,   1 s

= lim s → 0 ⁡ 2 - 1 + s 5 2 - 1 + 2 s 5 2 - 2 - 1 - 1 s

= lim s → 0 ⁡ 2 - 1 - 2 s 5 - s 2 5 - 1 - 4 s 5 - 4 s 2 5 - 0 s

= lim s → 0 ⁡ - s 2 - 6 s 5 s = lim s → 0 ⁡ - s - 6   5 = - 6 5 5

Assim a derivada direcional no ponto P ( 1 ,   1 ) é - 6 5 5 .

Resposta

- 6 5 5

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