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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 5

Nos exercícios 2 a 6 , calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados:

5. f x , y = 2 - x 2 - y 2 , P ( 1 ,   1 ) , na direção do vetor tangente unitário à curva C : r → t = ( t , t 2 ) em P 1 ,   1 .

Passo 1

Para calcular a derivada direcional, precisamos primeiro encontrar o vetor unitário que tangente a curva dada. Podemos encontrar ele derivando a curva. Assim temos:

r → t = t , t 2

A derivada é a seguinte:

r → ' t = ( 1,2 t )

Agora calculamos no ponto ( 1,1 )

r → ' 1 = ( 1,2 )

Passo 2

Assim, o vetor tangente unitário b → é o seguinte:

b → = r → ' 1 r → ' 1

Substituindo os valores temos:

b → = 1 ,   2 5 = 1 5 , 2 5

Passo 3

Logo pelo gráfico

Temos que Q é o seguinte:

Q = 1 + s 5 , 1 + 2 s 5

Passo 4

Pela definição de derivada direcional, temos que:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f 1 + s 5 , 1 + 2 s 5 - f 1 ,   1 s

= lim s → 0 ⁡ 2 - 1 + s 5 2 - 1 + 2 s 5 2 - 2 - 1 - 1 s

= lim s → 0 ⁡ 2 - 1 - 2 s 5 - s 2 5 - 1 - 4 s 5 - 4 s 2 5 - 0 s

= lim s → 0 ⁡ - s 2 - 6 s 5 s = lim s → 0 ⁡ - s - 6   5 = - 6 5 5

Assim a derivada direcional no ponto P ( 1 ,   1 ) é - 6 5 5 .

Resposta

- 6 5 5

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada por θ f x , y = y e - x , 0,4 , θ = 2 π 3
Calcule a derivada direcional de f x , y = 2 x 2 + y 2 No ponto (-1,1) e na direção 2i → + 3j → .
Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3i → + 4j → e igual a -1 na direção 4i → - 3j → . Calcule: ∇ f → ( 1,1 ) ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) onde u → é o v