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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 6

Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3   i → + 4   j → e igual a -1 na direção 4   i → - 3   j → . Calcule:

  1. ∇ f → ( 1,1 )
  2. ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) onde u → é o versor de i → + j → .

Passo 1

Vamo começar dando nome pra essas direções, beleza?

v → = 3   i → + 4   j →

w → = 4   i → - 3   j →

E, como a questão trata de derivadas parciais, o que realmente interessa são os versores que determinam essas direções, que a gente encontra dividindo esses vetores pelos módulos deles (que é 3 2 + 4 2 = 5 , nos dois casos):

v ^ = 3 5   i → + 4 5   j →

w ^ = 4 5   i → - 3 5   j →

E vamo logo aproveitar pra determinar o   u → , que é um versor ( u ^ ), que vai ficar pra mais tarde:

u ^ = 1 2   i → + 1 2   j →

Passo 2

Com as informações que a questão dá,

D v ^ f 1,1 = ∇ f → 1,1 v ^ = ∇ f → 1,1 3 5   i → + 4 5   j → = 3

D w ^ f 1,1 = ∇ f → 1,1 w ^ = ∇ f → 1,1 4 5   i → - 3 5   j → = - 1

a gente monta um sistema de equações lineares:

3 5   ∇ f x 1,1 + 4 5   ∇ f y 1,1 = 3 4 5   ∇ f x 1,1 - 3 5 ∇ f y 1,1 = - 1

Que fica melhor multiplicado por 5:

3   ∇ f x 1,1 + 4   ∇ f y 1,1 = 15 4   ∇ f x 1,1 - 3 ∇ f y 1,1 = - 5

E tem como solução

∇ f x = 1

∇ f y = 3

E isso responde o item a:

∇ f → 1,1 = i → + 3   j → .

E depois desse trabalho todo, ainda tem o item b.

Passo 3

O item b é pra calcular a derivada direcional pra uma outra direção: a do versor u ^ , que encontramos antes. Fica assim:

D u ^ f 1,1 = ∇ f → 1,1 1 2   i → + 1 2   j → = i → + 3   j → . 1 2   i → + 1 2   j →

D u ^ f 1,1 = 1 2 + 3 2 = 4 2 .

Racionalizando o resultado:

D u ^ f 1,1 = 4 2 2 = 2 2 .

Resposta

  1. ∇ f → 1,1 = i → + 3   j → .
  2. D u ^ f 1,1 = 2 2 .
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