Calcule a derivada direcional de

f(x, y) = 2 / (x^2 + y^2)

No ponto (-1,1) e na direção 2 * i + 3 * j .

Passo 1

Pra começar, a gente tem que determinar um versor pra essa direção. Pra isso, é só descobrir qual versor aponta na mesma direção que o vetor 2   i → + 3   j → aponta. Esse versor é encontrado dividindo o vetor pelo módulo dele. Desse jeito, o versor encontrado ainda aponta na mesma direção de antes, mas é unitário!

O módulo de 2   i → + 3   j → é dado por

2 2 + 3 2 = 13 .

Então o versor que vamos usar é

u → = 2 13   i → + 3 13   j → .  

Passo 2

O próximo passo é determinar o Gradiente de f no ponto dado.

∇ f → =   ∂ f ∂ x   i → + ∂ f ∂ y   j → = - 4 x x 2 + y 2 2   i → + - 4 y x 2 + y 2 2   j →

∇ f → - 1,1 =   i → - j → .

Passo 3

Agora, se faz o cálculo da derivada direcional usando o produto interno:

D u f - 1,1 = ∇ f → - 1,1 u → = i → - j → 2 13   i → + 3 13   j → = 2 13 - 3 13 = - 1 13 .

D u f - 1,1 = - 1 13 .

Resposta

D u f - 1,1 = - 1 13 .

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