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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 21

Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

21. d d t s e c 2 t 1 + t 2

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente para resolvermos essa derivada:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

E nossa derivada vai ficar:

d d t s e c 2 t 1 + t 2 - s e c 2 t d d t 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2

Passo 2

A primeira derivada que apareceu:

d d t s e c 2 t

Pode ser resolvida pela Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

d d x x 2 = 2 x

E aí substituímos x pela função de dentro, multiplicando tudo pela derivada da função de dentro, fica assim:

2 s e c t d d t ( s e c t )

E a derivada que apareceu é:

d d t s e c t = sec ⁡ t t g ( t )

Substituindo:

2 s e c ( t ) sec ⁡ t t g ( t )

2 s e c 2 t t g ( t )

Passo 3

E a outra derivada é mais simples de resolver:

d d t 1 + t 2 = 2 t

Passo 4

Juntando os dois resultados na nossa derivada do Passo 1:

d d t s e c 2 t 1 + t 2 - s e c 2 t d d t 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2

Fica:

2 s e c 2 t t g ( t ) 1 + t 2 - s e c 2 t 2 t ( 1 + t 2 ) 2

Simplificando:

2 s e c 2 t t g t 1 + t 2 - t ( 1 + t 2 ) 2

Resposta

2 s e c 2 t t g t 1 + t 2 - t ( 1 + t 2 ) 2

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