Enunciado

Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

21. d d t s e c 2 t 1 + t 2

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente para resolvermos essa derivada:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

E nossa derivada vai ficar:

d d t s e c 2 t 1 + t 2 - s e c 2 t d d t 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2

Passo 2

A primeira derivada que apareceu:

d d t s e c 2 t

Pode ser resolvida pela Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

d d x x 2 = 2 x

E aí substituímos x pela função de dentro, multiplicando tudo pela derivada da função de dentro, fica assim:

2 s e c t d d t ( s e c t )

E a derivada que apareceu é:

d d t s e c t = sec ⁡ t t g ( t )

Substituindo:

2 s e c ( t ) sec ⁡ t t g ( t )

2 s e c 2 t t g ( t )

Passo 3

E a outra derivada é mais simples de resolver:

d d t 1 + t 2 = 2 t

Passo 4

Juntando os dois resultados na nossa derivada do Passo 1:

d d t s e c 2 t 1 + t 2 - s e c 2 t d d t 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2

Fica:

2 s e c 2 t t g ( t ) 1 + t 2 - s e c 2 t 2 t ( 1 + t 2 ) 2

Simplificando:

2 s e c 2 t t g t 1 + t 2 - t ( 1 + t 2 ) 2

Resposta

2 s e c 2 t t g t 1 + t 2 - t ( 1 + t 2 ) 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).35. f x = x 2 ⋅ t g x ; a = π
Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).32. f x = x ⋅ s e n x ; a = 3 2 π
Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).40. f x = t g x + s e c x ;a = π 6
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 9 . g x = x s e n x + c o s ( x )
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 11 . h x = 4 s e n x c o s ⁡ ( x )