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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 27

Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.

27. D x [ x - s e n x ⋅ x + c o s x ]

Passo 1

Para realizar essa derivada vamos usar a regra do produto.

Regra do produto:

D x f x ⋅ g x   = D x ( f ( x ) ⋅ g x + D x ( g x ) ⋅ f x

Passo 2

Aplicando na expressão que temos:

D x x - s e n x ⋅ x + c o s x

= D x x - s e n x ⋅ x + cos ⁡ x + x - s e n x ⋅ D x x + c o s x

Passo 3

1º derivada de D x x - s e n x :

D x x - s e n x = D x x - D x ( s e n x )

= 1 - c o s x

Passo 4

2º derivada de D x x + c o s x :

D x x + c o s x = D x x + D x ( c o s x )

= 1 - s e n x

Passo 5

Substituindo na expressão inicial:

D x x - s e n x ⋅ x + cos ⁡ x + x - s e n x ⋅ D x x + c o s x

= ( 1 - c o s x ) ⋅ x + cos ⁡ x + x - s e n x ⋅ ( 1 - s e n x )

Resposta

D x x - s e n x ⋅ x + c o s x = ( 1 - c o s x ) ⋅ x + cos ⁡ x + x - s e n x ⋅ ( 1 - s e n x )

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