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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 65

( a ) Mostre que

∫ csc ⁡ x   d x = - ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

( b ) Mostre que o resultado de ( a ) também pode ser escrito como

∫ csc ⁡ x   d x = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C

E

∫ csc ⁡ x   d x = ln ⁡ tan ⁡ 1 2 x + C

Passo 1

Bom galera, primeiro a gente pode usar uma identidade trigonométrica pra facilitar nossa vida:

∫ csc ⁡ x   d x

= ∫ sec ⁡ π 2 - u   d x

= - ln ⁡ sec ⁡ π 2 - x + tan ⁡ π 2 - x + C

= - ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

Passo 2

Belezinha, a gente pode brincar um pouco agora:

- ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= ln ⁡ 1 csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x csc 2 ⁡ x - cot 2 ⁡ x + C

= ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C

Passo 3

Por fim, também podemos fazer isso:

- ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= - ln ⁡ 1 sin ⁡ x + cos ⁡ x sin ⁡ x + C

= ln ⁡ sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C = ln ⁡ 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 2 cos 2 ⁡ x 2 + C

= ln ⁡ tan ⁡ x 2 + C

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = cos ⁡ x , y = 0 , x = 0 , x = π 2 , a or e d o rd ey = - 1