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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 16

O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:

  1. s e n ( x ) = 0
  2. c o s ( x ) + 1 = 0

Aplique o método de Newton com x 0 = 3 e precisão 1 0 - 7 em cada caso e compare os resultados obtidos. Justifique.

Passo 1

Na letra a, temos:

f ( x ) = s e n ( x ) = 0

f ' ( x ) = c o s ( x )

Agora podemos jogar na fórmula:

x k + 1 = x k - s e n ( x ) c o s ( x )

Iterando, vamos ter:

x 0 = 3

x 1 = 3.142546543074278

x 2 = 3.141592653300477

Na segunda iteração já podemos ver que já convergiu!

Passo 2

Na letra b, temos:

f ( x ) = c o s ( x ) + 1 = 0

f ' ( x ) = - s e n ( x )

Agora podemos jogar na fórmula:

x k + 1 = x k - c o s ( x ) + 1 - s e n ( x )

Iterando, vamos ter:

x 0 = 3

x 1 = 3.070914844302653

x 2 = 3.106268467156334

x 3 = 3.123932397162858

x 4 = 3.132762754881942

x 5 = 3.1371777329211668

x 6 = 3.1393851968410607

x 7 = 3.1404889256636337

x 8 = 3.141040789682765

x 9 = 3.1413167216433333

Na nona iteração podemos ver que finalmente convergiu!

Resposta

  1. x _   =   3.1415926533   com f ( x _ ) = 2.9 × 1 0 - 10 em 2 iterações.
  2. x _   = 3.14131672164 com f ( x _ ) = 3.8 × 1 0 - 10 em 9 iterações.
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