Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 19
O polinômio tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1,1).
- Verifique que
- Encontre, pelo respectivo método, usando
Passo 1
letra a:
Para fazer essa verificação, a gente precisa apenas checar os sinais nas extremidades dos intervalos!
Os valores de nos intervalos são:
Como existe troca de sinal em todos os extremos, então podemos garantir que existe pelo menos uma raiz em cada um desses intervalos.
Se pegarmos o intervalo e analisarmos o valor de neste intervalo, podemos ver que será :
Houve troca de sinal!
Como só existem cinco raízes, e conseguimos achar 5 intervalos disjuntos que contém uma raiz, podemos garantir que a ordem das raízes dessa equação vai ser igual à ordem desses intervalos.
Passo 2
Letra b:
Primeiro temos
Agora, precisamos achar a derivada do :
Agora, podemos aplicar na fórmula do Newton-Raphson, obtendo:
Iterando, obtemos:
Passo 3
Vamos agora aplicar o método da bissecção para achar o valor de .
Nesse método, pegamos o valor de que é a média do intervalo dado e verificamos o valor da função nesse ponto, o valor substituirá o valor do intervalo em que o tem o mesmo sinal.
Iterando, podemos obter:
Passo 4
No método da posição falsa, pegamos os valores da função avaliados nos limites do intervalo e depois disso traçamos uma reta que passa pelos dois valores.
Depois disso, pegamos o valor em que essa reta cruza o eixo das abcissas e avaliamos o sinal da função nesse ponto, substituindo o limite do intervalo anterior, de forma análoga à da questão anterior.
Iterando, podemos obter:
Passo 5
No método do ponto fixo, fixamos um ponto e achamos uma função auxiliar iteradora para analisar a função de estudo, da forma .
Com o , podemos achar
Agora que temos uma função iteradora, iteramos até achar:
Passo 6
O método da secante que é similar ao de Newton, a única diferença é que a derivada é discretizada, de forma que se precisa de dois pontos para calcular o próximo!
Iterando, poderemos obter:
Resposta
- Como só existem cinco raízes, e conseguimos achar 5 intervalos disjuntos que contém uma raiz, podemos garantir que a ordem das raízes dessa equação vai ser igual à ordem desses intervalos.