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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 21

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ s e ∂ w ∂ t para w = g u , u = h s ,   t

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Como temos duas variáveis independentes, teremos dois diagramas de árvore. Primeiro iremos fazer em relação s :

A fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ s :

∂ w ∂ s = d w d u ∂ u ∂ s

Passo 3

E referente a t , temos o seguinte diagrama:

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ t :

∂ w ∂ t = d w d u ∂ u ∂ t

Resposta

∂ w ∂ s = d w d u ∂ u ∂ s

∂ w ∂ t = d w d u ∂ u ∂ t

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = t g (x^2 + y) , x = 2 t , y = t^2
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = l n x y x = 2 t^2 y = t^2 + 2
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = a r c t g x y , x = 2 t , y = 3 t
Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + e^(x y) , com x (t) = (1)/(t) e y (t) = sqrt(t) , encontrar (d h)/(d t) onde h (t) = f (x (t) , y (t)) .
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = e^x (c o s x + c o s y) , x = t^3 , y = t^2