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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 38

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n ! 2 2 n !  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da sequência, dado por:

a n = - 1 n + 1 n ! 2 2 n !  

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = - 1 n + 2 ( n + 1 ) ! 2 2 n + 2 ! = - 1 n + 1 n ! 2 2 n ! ∙ - 1 n + 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 )   =   a n ∙ - 1 n + 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 )  

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ a n ∙ - 1 n + 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) a n =   lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) =    

Simplificando os termos comuns, temos:

lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) =     lim n →  ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 ) = lim n →  ∞ ⁡ n + 1 4 n + 2 = 1 4    

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Sendo assim, a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Absolutamente convergente.

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Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.30. ∑ n = 0 ∞ arctan ⁡ n n
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !
Use qualquer teste para determinar se uma série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2
Teste a série quanto a convergência ou divergência ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2