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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 18

Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ (x , y) = cos^2 (3 x - y^2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) (cos^2 (3 x - y^2))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = cos (3 x - y^2) ,

= (del)/(del u) (u^2) * (del)/(del x) (cos (3 x - y^2))

Abrindo outra regra da cadeia, v = 3 x - y^2

(del)/(del x) (cos (3 x - y^2)) = (del)/(del v) (cos v) * (del)/(del x) (3 x - y^2)

(del)/(del x) (cos (3 x - y^2)) = - sen v * 3

(del)/(del x) (cos (3 x - y^2)) = - 3 sen ( 3 x - y^2 )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u * (- 3 sen (3 x - y^2))

= 2 cos (3 x - y^2) * (- 3 sen (3 x - y^2))

Das relações trigonométricas, sen 2 x = 2 sen x * cos x

= - 3 sen (2 (3 x - y^2))

(del f)/(del x) = - 3 sen (6 x - 2 y^2)

Passo 2

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) (cos^2 (3 x - y^2))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n (3 x - y^2) ,

= (del)/(del u) (u^2) * (del)/(del y) (sen (3 x - y^2))

Abrindo outra regra da cadeia, v = 3 x - y^2

(del)/(del y) (cos (3 x - y^2)) = (del)/(del v) (cos v) * (del)/(del y) (3 x - y^2)

(del)/(del y) (sen (3 x - y^2)) = - sen v * ( - 2 y )

(del)/(del y) (cos (3 x - y^2)) = 2 y sen ( 3 x - y^2 )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u * 2 y cos (3 x - y^2)

= 2 y (2 sen (3 x - y^2) * cos (3 x - y^2))

Das relações trigonométricas, sen 2 x = 2 sen x * cos x

= 2 y sen (2 (3 x - y^2))

(del f)/(del y) = 2 y sen (6 x - 2 y^2)

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = - 3 sen (6 x - 2 y^2) e (del f)/(del y) = 2 y sen (6 x - 2 y^2) .

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Calcule as derivadas parciais dew (x , y , z) = x^2 arcsin (y)/(z)
Calcule as derivadas parciais des = f (x , y , z , w) = x w ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)
Seja f (x , y , z) = (x)/(x^2 + y^2 + z^2) . Verifique quex (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) + z (del f)/(del z) = - f
Seja f : R → R diferneciável e seja g dada por g x , y , z = f ( r ) onde r = x , y , z . Verifique que x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y + z ∂ g ∂ z = r f ' r
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1