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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 1b

Calcule as derivadas parciais de

w (x , y , z) = x^2 arcsin (y)/(z)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos w (x , y , z) = x^2 arcsin (y)/(z) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del w (x , y , z))/(del x) = (del)/(del x) [x^2 arcsin (y)/(z)] = x^2 (del)/(del x) [arcsin (y)/(z)] + arcsin (y)/(z) (del)/(del x) [x^2]

Dai,

(del w (x , y , z))/(del x) = 0 + (arcsin (y)/(z)) 2 x = (arcsin (y)/(z)) 2 x

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

(del w (x , y , z))/(del y) = (del)/(del y) [x^2 arcsin (y)/(z)] = x^2 (del)/(del y) [arcsin (y)/(z)] + arcsin (y)/(z) (del)/(del y) [x^2]

Daí, lembrando que a derivada do arcsin y é (1)/(sqrt(1 - y^2)) :

(del w (x , y , z))/(del y) = x^2 (1)/(sqrt(1 - ((y)/(z))^2)) (1)/(z) + 0 = x^2 (1)/(sqrt(z^2 - y^2))

Passo 4

finalmente, calculando a derivada em z , temos:

(del w (x , y , z))/(del z) = (del)/(del z) [x^2 arcsin (y)/(z)] = x^2 (del)/(del z) [arcsin (y)/(z)] + arcsin (y)/(z) (del)/(del z) [x^2]

Daí, lembrando que a derivada do arcsin z é (1)/(sqrt(1 - z^2)) :

(del w (x , y , z))/(del z) = x^2 (1)/(sqrt(1 - ((y)/(z))^2)) (del)/(del z) [(y)/(z)] + 0 = (x^2)/(sqrt(1 - ((y)/(z))^2)) [- (y)/(z^2)]

Resposta

(del w (x , y))/(del x) = (arcsin (y)/(z)) 2 x

(del w (x , y))/(del y) = x^2 (1)/(sqrt(z^2 - y^2))

(del w (x , y , z))/(del z) = (x^2 y)/(z^2 sqrt(1 - ((y)/(z))^2))

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